Probability Theory (1) Set Theory

본 게시물은 최성준 교수님의 확률론 강의를 정리하는 글이다.

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1. Intorduction

👀 Definition

Set theory is the branch of mathematical logic that studies sets, which can be informally described as collections of objects. Although objects of any kind can be collected into a set, set theory, as a branch of mathematics, is mostly concerned with those that are relevant to mathematics as a whole.

출처: https://en.wikipedia.org/wiki/Set_theory

집합론은 집합을 연구하는 수학 논리학의 한 분야로 collections of objects로 기술될 수 있다. objects는 어떤 것이든 될 수 있지만, 집합론은 수학의 한분야로 수학 전체와 관련된 것들과 대부분 관계가 있다.

2. Terms

☀️ set

• collections of objects
  ☞ {1, 2, 3, 4, 5}

☀️ element

• member of a set
  ☞ 1 $\in$ {1, 2, 3}

☀️ subset

• 부분집합

  ☞ {a, b} is a subset of $ \lbrace a, b, c \rbrace$

☀️ universal set

• subset들의 전체 집합
  ☞ $ \lbrace x, y, z \rbrace$ is a universal set of {x, y} and {y, z}
  

☀️ disjoint sets

• 서로 공통 원소가 없는 집합들
  ☞ $ A \cap B = \varnothing $

☀️ partition

• 공집합이 아닌 부분집합들로 이루어진 집합
  ☞ if $A = \lbrace 1, 2, 3, 4 \rbrace$, then partition of $A: \lbrace \lbrace 1, 2 \rbrace , \lbrace 3 \rbrace , \lbrace 4 \rbrace \rbrace$

☀️ cartesian product

• 각 집합의 원소를 성분으로하는 튜플들의 집합이며 원소들의 순서는 곱의 순서와 같음

\[A_1 \times A_2 \times ... A_n = \lbrace (x_1, x_2, ... x_m) | x_1 \in A_1, x_2 \in A_2, ... , x_n \in A_n \rbrace\]

☀️ power set

• 집합의 모든 부분집합 (공집합도 포함)
  ☞ $2^A$ the set of all subsets of A

☀️ cardinality

• 집합의 원소 개수

☀️ denumerable

• countably infinite, all denumerable sets are of the same cardinality
  📍짝수의 집합은 denumerable

3. Function or Mapping

\[f\, : \, U \rightarrow V\]

• domain: $U$
• codomain: $V$
• image: 정의역의 원소에 대응하는 공역의 원소들
  ☞ $f(A) = \lbrace f(x) \in V : x \in A \rbrace$ where $A \subseteq U$
• range: $f(U)$ (image of domain)