Probability Theory (4) Random Variable

본 게시물은 최성준 교수님의 확률론 강의를 정리하는 글이다.

👀 Definition

random variable은 mesurable한 Ω(sample space) 위에서 정의된 real-valued function이다.

• real-valued function: sample space에 있는 원소를 다른 공간의 실수와 매핑시킴
• mesurable: sample space에 있는 원소들의 공간에 대해 면적을 구할 수 있음

☀️ sample space vs sigma field

• sample space는 실험에서 가능한 모든 결과의 집합 ex) 주사위 던지기 실험의 경우 sample space는 {1,2,3,4,5,6}
• sigma filed는 sample space의 부분 집합들로 구성된 집합, 사건(event)의 집합을 표현하기 위해 사용 ☞ 사건의 집합
• 즉, sigma filed는 sample space의 부분 집합을 다루기 위해 axioms 존재
• 확률은 sigma field 위에서 정의되며 sigma filed의 사건들에 대한 확률 값을 할당하며, 확률 실험의 결과를 수학적으로 다룰 수 있게 함

☀️ probability space

😗[Image1]

• probability space는 sample space, sigma field 그리고 확률 측도로 구성되어 있음
• 확률 측도는 sigma field의 각 사건에 대해 확률 값을 할당하는 함수

📍Example

😗[Image2]

• 실험은 주사위 던지기
• 실험에 대한 sample space는 {1,2,3,4,5,6}
• sigma field는 sample space의 power set
• radnom variable X에 대한 확률 계산: P(X<=10)은 sample space의 부분집합인 {1,2,4,6}에 대한 probabilty measure

random variables에 대한 추가적인 정리

1. Random Variable

1.1 Definition

• random variable은 random experiment로 나타날 수 있는 모든 outcome(=sample space)에 대해 실수를 매핑하는 real-valued function
• 이때, 매핑하는 기준에 따라 같은 random experiment일지라도 다른 random variable이 정의됨

1.2 Range

• random varialbe이 가능한 실수의 집합의 범위

📍Example

동전을 5번 던지는 실험에서 random variable X는 동전의 앞면의 개수
이때의 sample space는 {TTTTT, TTTTH, TTTHH, … , HHHHH}

X(TTTTT) = 0, X(TTHTT) = 1 ..

Range(X) = {0, 1, 2, 3, 4, 5}

2. Discrete Random Variables

2.1 Definition

• 셀 수 있는 range를 가진 random variable

3. PMF

3.1 Definition

확률 질량 함수(probability mass function, PMF)는 이산 확률 변수의 분포를 나타며, 특정 값에 대한 확률을 나타내는 함수이다.

\[R_x=\{x_1, x_2, x_3, ...\}\]

• random variable X의 value가 $x_1, x_2, x_3, …$
• ${X=x_k}$일 사건(event) A는 sample space에 존재하는 outcome s로 만들어진 집합(=sigma field)
• 이처럼 discrete random variable에 대해 사건 A가 나타날 확률을 공식으로 표현한 것이 PMF

📍Example

동전을 두개 던지는 실험에서 관측된 앞면의 수를 random variable X라고 정의했을 때, PMF는 아래와 같이 정의할 수 있음

1. sample space S 정의

\[S=\{HH, HT, TH, TT\}\]

1. X의 range

\[R_x = \{0, 1, 2\}\]

1. pmf 정의

\[P_x(0) = P(X=0)=P(\{TT\}) = \frac{1}{4} \\ P_x(1) = P(X=1)=P(\{HT, TH\}) = \frac{1}{2} \\ P_x(2) = P(X=2)=P(\{HH\}) = \frac{1}{4} \\\]

3.2 Probability Distribution

😗[image1]

• discrete random variable의 pmf를 probability distribution(=확률분포)라고도 함

3.3 Properties of PMF

😗[image2]

4. CDF

4.1 Definition

• probability distribution의 누적된 값
• PMF는 discrete random variable에서 사용할 수 있으나, CDF는 다양한 variable에서 사용 가능함

😗[image3]

📍Example

PMF example에 대한 CDF

😗[image4]